Giriş
Kovaryans (ortak varyans) en basit tanımı ile iki değişken arasındaki ilişkinin yönünü ve birlikte nasıl hareket ettiklerini ölçen istatistiksel bir değerdir. Kovaryans değişkenler arasındaki ilişkileri oldukça basit bir bağlamda birimlere duyarlı bir şekilde bir değişkenin ortalamasından sapmalarının, diğer değişkenin ortalamasından sapmalarıyla ne ölçüde aynı yönde gerçekleştiği şeklinde ölçmektedir(Newbold, vd., 2013). Bu sebeple korelasyon ve regresyon gibi analizler ile ilişkili olmakla beraber değişkenler arasındaki ilişkinin gücünü göstermekte yetersiz bir metriktir. Hatta tarihsel süreçte kovaryans korelasyonun hesaplanması için bir ara işlem olarak ortaya çıkmıştır (Stigler, 1989). 1880'lerin ortalarında, Charles Darwin'in kuzeni olan İngiliz bilim insanı Francis Galton, kalıtım üzerine çalışıyordu. Ebeveynlerin boy uzunlukları ile çocukların boyları arasındaki ilişkiyi incelerken, uzun ebeveynlerin çocuklarının da uzun olma eğiliminde olduğunu fark etti. Galton buna "co-relation" (birlikte ilişki-korelasyon) adını verdi. O dönemde elde modern bir formül yoktu; veriler, bugün saçılım grafiği (scatter plot) dediğimiz görsellerle sezgisel olarak açıklanıyordu. Galton'un sezgilerini matematiğin sağlam zeminine oturtan kişi, Karl Pearson oldu. 1890'larda Pearson, bu ilişkiyi standardize ederek bugün hepimizin bildiği "Pearson Korelasyon Katsayısı"nı (Pearson's r) literatüre kazandırdı. Kovaryans ise Fisher (1918)'de "varyans" kelimesini literatüre soktuktan sonra verilerin sadece ilişkisinin derecesine (korelasyon) değil, toplam varyansın ne kadarının birlikte hareket ettiğine mutlak değer olarak (unstandardized) ihtiyacı olduğu görüşünden hareket ile isimlendirilerek literatüre dolaylı bir yoldan kazandırılmış oldu.
Kovaryans Nasıl Hesaplanır ?
Kovaryans, iki değişkenin kendi ortalamalarından sapmalarının çarpımlarının toplanıp, ilgili gözlem sayısına bölünmesiyle hesaplanır. Yansız bir tahmin elde etmek için anakütlede (popülasyon) toplam gözlem sayısına ($N$), örneklemde ise gözlem sayısının bir eksiğine ($n-1$) bölünür (Gujarati ve Porter, 2009; Wooldridge, 2015).
Örneklem Kovaryans Formülü
$$Cov(X, Y) = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{n - 1}$$
Anakütle Kovaryans Formülü
$$Cov(X, Y) = \frac{\sum_{i=1}^{N} (X_i - \mu_X)(Y_i - \mu_Y)}{N}$$
Formüldeki Simgeler:
$Cov(X, Y)$: $X$ ve $Y$ değişkenleri arasındaki kovaryans katsayısı.
$X_i$ ve $Y_i$: Sırasıyla $X$ ve $Y$ değişkenlerinin $i$. sıradaki gözlem değerleri.
$\bar{X}$ ve $\bar{Y}$: $X$ ve $Y$ değişkenlerinin örneklem ortalamaları.
$\mu_X$ ve $\mu_Y$: $X$ ve $Y$ değişkenlerinin anakütle ortalamaları.
$n$: Örneklemdeki toplam gözlem sayısı.
$N$: Anakütledeki toplam gözlem sayısı.
Kovaryans Hesaplama
Aşağıdaki alanda verileri değiştirerek iki değişken arasındaki kovaryansı hesaplayabilir ve değişkenlerin birlikte değişimlerine dair saçılım grafiğini oluşturabilirsiniz.
Kaynakça
- Fisher, R. A. (1918). The Correlation Between Relatives on the Supposition of Mendelian Inheritance. Transactions of the Royal Society of Edinburgh, 52, 399-433.
- Gujarati, D. N. ve Porter, D. C. (2009). Basic Econometrics (5. Baskı). McGraw-Hill/Irwin, s. 835-836.
- Newbold, P., Carlson, W. L. ve Thorne, B. (2013). Statistics for Business and Economics (8. Baskı). Pearson.
- Pearson, K. (1896). Mathematical Contributions to the Theory of Evolution. III. Regression, Heredity, and Panmixia. Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 187, 253-318.
- Stigler, S. M. (1989). Francis Galton's Account of the Invention of Correlation. Statistical Science, 4(2), 73-79.
- Wooldridge, J. M. (2015). Introductory Econometrics: A Modern Approach (6. Baskı). Cengage Learning, s. 732.